John Nash, equilibrio di Nash, sostenibilità e teoria dei giochi

La sostenibilità secondo l’equilibrio di Nash

Quando pensiamo a John Nash, pensiamo al genio, alla follia, a quel volto di Russell Crowe in ‘A Beautiful Mind’, che imitava il movimento delle sue mani.

Ma c’è un’altra parola che gli sta accanto, silenziosa, e che nessun film ha mai messo in primo piano: sostenibilità.

Nash non parlava di energie rinnovabili o di emissioni. Lui pensava ai giochi. A come le persone scelgono, competono, si tradiscono o collaborano.

E a un certo punto della sua vita, mentre ancora cercava di capire dove finisse la realtà e cominciasse il delirio, descrisse una cosa semplice e rivoluzionaria: “la strategia migliore per un gruppo non è quella in cui ogni singolo vince, ma quella in cui nessuno vuole cambiare la propria posizione perché starebbe peggio”.

Ma se lo guardi con occhi diversi, è anche una definizione di sostenibilità. La sostenibilità di cui parliamo qui ha tre volti, e Nash li incarna tutti e tre:

• ecologica (le risorse non si esauriscono),
• sociale (le relazioni non si spezzano)
• personale (una mente non si arrende).

L’equilibrio di Nash li attraversa tutti. “Un sistema è stabile (in equilibrio) quando nessuno, cambiando da solo la propria scelta, può stare meglio. Ma è sostenibile quando quella stabilità non distrugge le risorse necessarie per mantenersi nel tempo.”

• Quando l’acqua che usi oggi non riduce quella che servirà a chi verrà domani.
• Quando la tua libertà finisce dove comincia il bisogno dell’altro.

Per capire meglio: il lago e i pescatori

Immagina due pescatori che condividono lo stesso lago.
Ogni pescatore pensa: “Se prendo un pesce in più oggi, guadagno subito. Se non lo prendo io, lo prenderà l’altro”. Così, entrambi pescano di più.

Il risultato? Il lago si svuota. Ora nessuno dei due, da solo, può tornare a pescare meno: se lo facesse, l’altro prenderebbe tutti i pesci rimasti.

Quella situazione di lago vuoto è un equilibrio di Nash. È stabile. Ma è insostenibile.
Ecco la tragedia che Nash ci aiuta a capire.

L’equilibrio non è uno stato statico

Nash lo capì da giovane, su un foglio, con la matematica.
E poi passò trent’anni a imparare sulla sua pelle che l’equilibrio non è uno stato statico: è qualcosa che si riconquista ogni giorno. Come la salute,  l’amore e la pace con se stessi.

Questa intervista del collettivo Balual non è un trattato.
È un tentativo di sedersi accanto a un uomo che ha attraversato l’abisso e ha continuato a scrivere equazioni di notte, da solo, come un fantasma gentile.

Perché anche la follia, se la sai guardare, insegna qualcosa sulla resistenza. E la resistenza – delle menti, delle relazioni, della terra – è la più antica forma di sostenibilità che conosciamo.

Il gioco delle sedie vuote

Ambientazione: una stanza con luce pomeridiana, tazze di tè, biscotti quasi finiti. Alessandra ha appena spostato una pianta sul davanzale. Barbara sistema il registratore. Luigi tiene le mani intrecciate sulle ginocchia.  John Nash è seduto sul divano.

Alessandra: John, grazie per essere qui. So che non ami molto queste cose. La mia prima domanda è un po’ personale: come si fa a stare dentro una mente che ti fa credere cose non vere? Dove andavi a rifugiarti quando la tua mente ti confondeva?

John Nash: Mi rifugiavo guardando le mie mani. Mia moglie Alicia me lo insegnò. Quando non sai più cosa è reale e cosa no, guardi le tue mani. Sono loro la cosa vera. La schizofrenia – me la diagnosticarono quando ero giovane – è una malattia che ti fa confondere la realtà con la fantasia.

È come se la tua mente avesse tante porte e tutte si aprissero insieme, e tu non sai quale porta porta fuori.

Le favole e lo sguardo che non ammira

Alessandra: Mi piacerebbe sapere una cosa, John. Quand’eri piccolo, prima che il mondo ti chiedesse di essere genio, c’era qualcuno che ti leggeva le favole la sera? Io penso che forse la matematica è come una storia per chi non sa più piangere. Tu cosa ne pensi?

Luigi gira la testa per guardarla, sorpreso.

John Nash: Mia madre leggeva. Ma poi smisi di ascoltare.

Alessandra: John, una volta ho visto un documentario su di te. Mostravano le tue foto da giovane. Qualcuno diceva che eri bello come un dio. Ma a me interessava un’altra cosa: chi è stata la prima persona che ti ha guardato senza ammirarti, ma semplicemente dicendo “tu esisti, non perché sei bravo, ma perché sei qui”?

Barbara smette di armeggiare col registratore. Luigi si schiarisce la voce.

John Nash: (lungo silenzio) Forse mia madre, quand’ero piccolo. Ma poi… Alicia. Quando io sprofondai nella malattia, lei non scappò. Dopo un po’ divorziammo, ma non mi abbandonò. Mi portò a casa sua e si prese cura di me. Non eravamo più marito e moglie, ma lei c’era.

Una volta, mentre ero in un ospedale e mi facevano delle cure terribili con l’insulina che mi faceva cadere in coma, lei era lì. Si sedette accanto al letto. Non parlò. Prese la mia mano. Non quella destra, quella con cui scrivevo le equazioni, ma la sinistra, quella che si usa meno. Io aprii gli occhi e la vidi. È l’unico ricordo chiaro di quei mesi orribili. Il resto è nebbia.

Alessandra ha gli occhi lucidi. Luigi si passa una mano tra i capelli.

La lettera nel cassetto

Luigi: Sai, la cosa che mi ha sempre colpito non è solo l’equilibrio di Nash. È quella lettera del tuo professore per Princeton. C’è una frase: “Quest’uomo è un genio”. Tu l’hai mai riletta quando stavi male, quando nessuno ti chiamava più genio?

John Nash: Sai Luigi, quando si rilegge una lettera così? Quando ormai gli altri ti hanno dimenticato. Io la tenevo nel cassetto. La sera, a volte, la toccavo ma non la leggevo. Perché il problema non è essere o non essere un genio. Il problema è quando il genio se ne va e tu resti lì con le tue mani che si muovono.

Quella lettera non mi ha salvato, ma mi ha ricordato che una volta ero reale. E poi, quando scrissi la mia tesi di dottorato – solo ventisette pagine che poi diventarono famose – nessuno parlava ancora di genio. Semmai dicevano: “è un tipo strano”.

Cos’è l’equilibrio di Nash (spiegato semplice)

Luigi: Ma senti, John, te lo chiedo proprio adesso, chiaro e tondo: ma cos’è in definitiva questo “Equilibrio di Nash”? Perché tutti ne parlano, io vorrei sentirlo spiegare da te, semplice semplice.

John Nash: (lo guarda, poi sorride) Hai ragione, Luigi. Spesso si usano parole difficili per cose che non lo sono. Te lo spiego adesso.

L’equilibrio di Nash è una situazione in cui nessuno vuole cambiare la propria scelta perché, se la cambiasse, starebbe peggio.

Facciamoun esempio con due bambini che devono dividere una pizza.

• Se io taglio la pizza e tu scegli per primo quale fetta prendere, so che prenderai la fetta più grande. Quindi, per non rimetterci, cercherò di tagliare le due fette uguali.” Questo è un esempio di soluzione logica in un gioco con turni. L’equilibrio di Nash originale si applica a giochi in cui le mosse sono simultanee. Ma l’idea di fondo è la stessa: nessuno dei due, sapendo cosa farà l’altro, può fare meglio cambiando da solo.
• Perché se taglio storto, tu prenderai la fetta più grande e io quella piccola.
• Tu, una volta che io ho tagliato uguale, puoi prendere una fetta qualsiasi: tanto sono uguali, quindi non puoi fare meglio di così, solo uguale.

In questo gioco, nessuno dei due può fare meglio di così. Se tu cambiassi scelta, prenderesti l’altra fetta che è uguale, quindi non guadagneresti niente. Se io cambiassi il mio taglio, tagliando diseguale, tu prenderesti la fetta più grande e io perderei.

Questo è un equilibrio di Nash. Non è una soluzione “giusta” o “buona” in senso morale. È semplicemente una situazione in cui ognuno fa la sua scelta migliore considerando quello che fanno gli altri.

Equilibrio nella vita reale

John Nash: : In economia, per esempio: due aziende che fanno lo stesso prezzo possono trovarsi in equilibrio: se una lo alza, perde clienti; se una lo abbassa, guadagna meno su ogni prodotto.

In alcuni casi, però, questo equilibrio porta a profitti bassi per entrambe – eppure nessuna delle due può uscirne da sola senza rimetterci. Ecco la forza e la trappola dell’equilibrio di Nash. Perché: Non promette che l’equilibrio sia desiderabile. Anzi, ne mostra l’ambivalenza.

In biologia: due animali che si dividono un territorio senza combattere: se uno attaccasse, l’altro reagirebbe e la lotta costerebbe a entrambi più energia di quanto varrebbe il territorio guadagnato.

La mia scoperta fu questa: in ogni gioco (cioè in ogni situazione con più persone che fanno scelte) esiste almeno un equilibrio di questo tipo. Non sempre si trova, ma esiste. E questo vale per l’economia, la politica, la guerra, gli animali, e anche per la vita di tutti i giorni.

Equilibrio di Nash e strategie miste nella vita reale

Nota: “Nash dimostrò che in ogni gioco con un numero finito di giocatori e un numero finito di strategie esiste almeno un equilibrio, anche se a volte bisogna ammettere strategie miste (cioè scegliere con una certa probabilità). Nella vita reale, con infinite possibilità, non è sempre detto – ma l’idea ci aiuta a ragionare.”

Alessandra: (sorride) Quindi anche noi tre in questa stanza…

John Nash: Anche voi. Adesso, per esempio potremmo vedere questa intervista come un piccolo equilibrio: nessuno di voi se ne va perché ognuno pensa che restare dia più valore che andarsene, date le scelte degli altri. Ma è un equilibrio fragile.

Se improvvisamente il tè finisse e io iniziassi a parlare di calcoli noiosi, qualcuno potrebbe cambiare idea. L’equilibrio dipende dalle circostanze che avete in questo momento. Se qualcuno se ne andasse, perderebbe il resto della conversazione. Questo è un piccolo equilibrio. È fragile, ma è un equilibrio.

Luigi: E tutto questo lo hai scritto in ventisette pagine…

John Nash: Le idee semplici a volte hanno bisogno di parole precise. Ma il cuore è questo: non serve essere geni per capire l’equilibrio. Basta pensare a quando stai con qualcuno e nessuno dei due vuole cambiare posizione per paura di stare peggio. Ecco, quella è la vita. Non solo la matematica.

La paura che tiene umani

Luigi: (si sporge leggermente in avanti) E quel ‘tipo strano’, come ha fatto a restare umano? Perché io a volte ho paura di diventare solo numeri e dimenticare la vita vera.

John Nash lo guarda a lungo, poi si rivolge ad Alessandra.

John Nash: Vedi, Alessandra, anche i matematici hanno paura. Non è una debolezza. È l’unica cosa che li tiene attaccati alla terra. Per esempio, io ho smesso di credere agli alieni – anche se per anni ho pensato che il New York Times pubblicasse messaggi in codice solo per me, e che io fossi l’unico a capirli. Ma non ho mai smesso di credere alla paura. La paura è onesta, ti dice: “sei vivo”. 

L’amore che ricomincia

Alessandra: John, posso farti una domanda un po’ privata? Quel giorno, quando tu e Alicia vi risposaste dopo tutto quel dolore… cosa vi siete detti? Io ho visto tanti amori finire. Quello che ricomincia dopo una malattia lunga è rarissimo.

John Nash: Ci siamo detti: “Abbiamo passato insieme la maggior parte della vita”. Non serviva altro. Non abbiamo festeggiato. Siamo andati a casa e abbiamo mangiato la zuppa. Quella stessa zuppa che lei faceva quando ero malato.

Era buona ma un po’ salata. Glielo dissi, lei rise e io piansi. Per la prima volta dopo anni sentii di nuovo le farfalle nello stomaco. Sai cosa vuol dire? È quell’emozione forte che provi quando sei felice e un po’ agitato, come quando stai per fare qualcosa di importante.

Non è solo per i giovani. È per chi ha il coraggio di ricominciare.

Le regole come gentilezza

Barbara: Scusate, interrompo. Io sto pensando al gioco Hex. Tu lo reinventasti e lo chiamarono “Nash”. Non smetto di chiedermi: perché un gioco? Perché quando tutto è caos, tu hai scelto di mettere delle regole?

John Nash: Perché le regole sono gentili, mentre il mondo non lo è. Nel gioco Hex sai sempre chi ha vinto, non c’è pareggio. È una cosa che piace a chi fa matematica: avere una soluzione chiara.

Mia madre diceva che da bambino piangevo quando una storia finiva male. Il gioco risolve la storia. Tu muovi un pezzo e fai un punto. La vita no. La vita è diversa. È come quella volta che avrei voluto andare da Einstein.

Il coraggio di entrare

Barbara: Raccontacela, John. Ma io non voglio sapere cosa disse Einstein. Voglio sapere come ti sentivi tu prima di entrare in quella stanza. Avevi paura? La stessa paura che abbiamo noi quando dobbiamo scegliere qualcosa che può cambiare tutto?

Luigi annuisce.

John Nash: Sì, avevo paura. Una paura fisica. Pensavo: “E se mi distrugge? E se la mia idea è stupida?”. Ma entrai lo stesso. Perché il coraggio non è non avere paura. Il coraggio è avere paura e fare lo stesso quello che devi fare.

Alessandra: (sussurra) Come la sostenibilità.

John Nash: Sì, come la sostenibilità. Perché anche un equilibrio ha bisogno di coraggio per mantenersi.

Muovere i pezzi da soli

Luigi: Alessandra, posso farti una domanda? Tu cosa cerchi in un’intervista come questa? Perché hai voluto incontrarlo?

Alessandra: Io, cerco un equilibrio tra quello che penso e quello che faccio. E anche la speranza che anche una mente che si è spezzata possa imparare a vivere senza farsi male.

Nash osserva in silenzio, con un sorriso lieve.

John Nash: Sai, Alessandra, quando stavo peggio – c’era una cosa che mi teneva attaccato alla vita. I giochi. Non quelli complicati, ma quelli semplici. A Princeton c’era un gruppo di studenti che giocava a giochi complicati. Io ne avevo inventato uno mio. Ma nel periodo più buio giocavo da solo.

Muovevo i pezzi. E ogni volta che muovevo un pezzo pensavo: “John, hai ancora una scelta”.
Finché un giorno decisi di cominciare a pensare in modo razionale. Non fu un ritorno alla felicità. Fu faticoso, come quando una persona che ha avuto un incidente e riapprende a camminare.

Ma la scelta era mia. E la scelta, Alessandra, è la più grande libertà che abbiamo, anche quando abbiamo paura.

Le mani non mentono

Barbara: Posso chiederti un’ultima cosa, John? Il film “A Beautiful Mind”. Russell Crowe che ti imita. Ti ha fatto strano vederti sullo schermo?

John Nash: Il film è una storia. Io sono un’altra storia, anche se un po’ simile. Ma c’è una cosa giusta: le mani. L’attore ha imparato a muoverle come le muovevo io. Perché le mani non mentono. Le mani ricordano quello che la mente ha dimenticato.

Alessandra: John, ti ringrazio. Non per le risposte. Per essere stato qui.

L’ultima lezione: l’equilibrio può essere una trappola

John Nash: (si alza) Sono qui ora. Poi andrò. Ma prima voglio dire un’ultima cosa a te, Alessandra, a te Barbara e anche a te, Luigi. L’equilibrio di Nash non è solo matematica. È la vita.

È quando due persone si guardano e nessuna delle due vuole cambiare la propria posizione perché starebbe peggio. Vale per l’economia, la politica, la biologia, e anche per voi tre in questa stanza. Trovare l’equilibrio insieme è più difficile, ma è più bello e dura di più.

John Nash si avvia verso la finestra, poi si volta.

John Nash: Le farfalle nello stomaco non sono solo paura. Sono anche emozione. L’equilibrio di Nash non parla di farfalle, ovviamente. Parla di scelte. Ma la vita che ci sta intorno sì. Perché un equilibrio umano – una relazione, una famiglia, un’amicizia – non si regge solo sulla razionalità. Si regge anche sulla fiducia che domani, se le farfalle torneranno, si troverà un nuovo equilibrio insieme.

John Nash fa un passo verso la porta, poi si ferma e si volta un’ultima volta. Il suo sguardo è improvvisamente serio.

John Nash: Ma attenzione: un equilibrio può anche essere una trappola. Se nessuno si muove per paura di star peggio, a volte si finisce per affondare tutti insieme. La vera sfida non è trovare l’equilibrio. È capire quando uscirne.

Silenzio. Nessuno parla.

John Nash: (sorride, quasi con dolcezza) Questa è l’ultima lezione. Non l’ho scritta in nessun teorema. Ma l’ho imparata sulla mia pelle.”

Esce. La porta si chiude in silenzio.]

Epilogo – Ls lezione di John Nash

C’è una lezione che Nash non scrisse mai nei suoi teoremi, ma che la sua vita racconta: a volte l’equilibrio in cui nessuno si muove è una prigione.

La vera sostenibilità – di una mente, di una relazione, del pianeta – richiede il coraggio di cambiare insieme.
Non da soli. Perché da soli si torna indietro. Insieme si costruisce un equilibrio nuovo, più grande, più vivo.

John Nash è morto il 23 maggio 2015, all’età di 86 anni, in un incidente stradale insieme alla moglie Alicia. Ha lasciato due figli, una rivoluzione scientifica e una frase che nessun film potrà mai rendere: «Ho cominciato a pensare in maniera razionale».

L’equilibrio di Nash spiegato facile facile

Immagina due bambini che devono dividere una torta.
Se uno taglia e l’altro sceglie per primo, nessuno dei due può imbrogliare. È il modo più giusto.
Nella vita, quando due persone trovano una soluzione in cui nessuna delle due, cambiando da sola, può stare meglio, si chiama Equilibrio di Nash.

Attenzione: se cambiassero insieme, potrebbero stare entrambe meglio – ma questo è un altro discorso.

La schizofrenia paranoide spiegata facile

È una malattia della mente. Chi ce l’ha a volte crede cose che non sono vere, per esempio che i giornali gli mandino messaggi segreti. John Nash ce l’aveva.

Ha imparato a riconoscere i pensieri sbagliati e a pensare in modo razionale. Non è guarito del tutto, ma ha imparato a vivere con la malattia.

La sostenibilità spiegata facile

Un equilibrio di Nash non è automaticamente sostenibile.
Due aziende possono smettere di innovare per paura di peggiorare la loro posizione (equilibrio), ma così facendo diventano obsolete (insostenibilità).

Due pescatori possono svuotare un lago restando in equilibrio, ma senza più pesci.
La sostenibilità aggiunge una domanda in più: questo equilibrio potrà durare domani? O sta consumando il terreno su cui poggia?

Sostenibilità, non è una parola difficile. Qui significa solo questo: fare oggi scelte che non renderanno più difficile la vita a chi – incluso il te stesso di domani – dovrà convivere con le conseguenze.

Piccola precisazione per i più curiosi

Un equilibrio di Nash può essere inefficiente (come nel dilemma del prigioniero, dove entrambi i giocatori potrebbero stare meglio se collaborassero)

O distruttivo (come nella tragedia dei beni comuni, dove il lago si svuota).

L’ottimo paretiano è una situazione in cui non si può migliorare la condizione di qualcuno senza peggiorare quella di un altro.

La sostenibilità è la qualità di quegli equilibri – paretiani o meno – che resistono senza consumare il loro stesso fondamento.

Non tutti gli equilibri di Nash sono sostenibili. E non tutte le soluzioni sostenibili sono equilibri di Nash.
Il bello – e il difficile – è trovarle lo stesso.